Question

8．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，且双曲线的一个焦点在抛物线y²=20x的准线上，则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{20}=1$．

Answer 1

分析 由抛物线标准方程易得其准线方程为x=-5，可得双曲线的左焦点为（-5，0），再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程平行于直线l：y=2x+10，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．

解答 解：因为抛物线y²=20x的准线方程为x=-5，所以由题意知，点F（-5，0）是双曲线的左焦点，
所以a²+b²=c²=25，①
又双曲线的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，所以$\frac{b}{a}$=2，②
由①②解得a²=5，b²=20，
所以双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{20}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{20}=1$．

点评 本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．