Question

6．已知不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+1≥0}\\{x≤2}\\{x+y-1≥0}\end{array}\right.$表示的平面区域为D，则
（1）z=x²+y²的最小值为$\frac{1}{2}$．
（2）若函数y=|2x-1|+m的图象上存在区域D上的点，则实数m的取值范围是$[-4，\frac{3}{4}]$．

Answer 1

分析 由题意作平面区域，（1）利用目标函数的几何意义，求解z=x²+y²的最小值；
（2）利用图形，求出图形中A，B，C坐标；化简y=|2x-1|+m，从而确定最值．

解答 解：由题意作不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+1≥0}\\{x≤2}\\{x+y-1≥0}\end{array}\right.$平面区域如图：
（1）z=x²+y²的最小值为图形中OP的距离的平方；
可得：$（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{2}$=$\frac{1}{2}$．
（2）
结合图象可知，$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+1=0}\\{x+y-1=0}\end{array}\right.$，可得B（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x+y-1=0}\end{array}\right.$解得A（2，-1）．当x∈[$\frac{1}{3}，\frac{1}{2}$]时，
y=1+m-2x，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{x-2y+1=0}\end{array}\right.$解得C（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）
x∈（$\frac{1}{2}$，2]时，y=2x-1+m，m的范围在A，B，C之间取得，y=|2x-1|+m，
经过A时，可得3+m=-1，即m=-4，m有最小值为-4；
经过C可得$\frac{3}{4}=|2×\frac{1}{2}-1|+m$，可得m=$\frac{3}{4}$，即最大值为：$\frac{3}{4}$；
经过B可得1-$\frac{2}{3}$+m=$\frac{2}{3}$，m=$\frac{1}{3}$．
函数y=|2x-1|+m的图象上存在区域D上的点，则实数m的取值范围：$[-4，\frac{3}{4}]$．
故答案为：$\frac{1}{2}$，$[-4，\frac{3}{4}]$．

点评 本题考查了线性规划的变形应用及数形结合的思想方法应用．