Question

如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AD=a,M、N分别是AB、PC的中点.

(1)求平面PCD与平面ABCD所成二面角的大小;

(2)求证:平面MND⊥平面PCD;

(3)当AB的长度变化时,求异面直线PC与AD所成角的取值范围.

Answer 1

(1)解：PA⊥平面ABCD,CD⊥AD,

    ∴PD⊥CD.

    故∠PDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角.

    在Rt△PAD中,PA⊥AD,PA=AD,

    ∴∠PDA=45°.

(2)证明:如图所示,取PD中点E,连结AE、EN,由M、N分别是AB、PC的中点,

    ∴ENCDAB.

    ∴AMNE为平行四边形.

    ∴MN∥AE.在等腰Rt△PAD中,AE是斜边的中线,

    ∴AE⊥PD.

    又CD⊥PD,CD⊥AD,

    ∴CD⊥平面PAD.

    ∴CD⊥AE.

    又PD∩CD=D,

    ∴AE⊥平面PCD.

    ∴MN⊥平面PCD.

    ∴平面MND⊥平面PCD.

(3)解:∵AD∥BC,

    ∴∠PCB为异面直线PC、AD所成的角,由三垂线定理知PB⊥BC,

    设AB=x(x＞0),

    ∴tan∠PCB==＞1.

    又∠PCB为锐角,

    ∴∠PCB∈(,),

    即异面直线PC、AD所成角的范围是(,).