Question

已知函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）．
（1）当a=e时，g（x）=mx²（m＞0，x∈R），
①求H（x）=f（x）g（x）的单调增区间；
②当x∈[-2，4]时，讨论曲线y=f（x）与y=g（x）的交点个数．
（2）若A，B是曲线y=f（x）上不同的两点，点C是弦AB的中点，过点C作x轴的垂线交曲线y=f（x）于点D，k_D是曲线y=f（x）在点D处的切线的斜率，试比较k_D与k_AB的大小．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）①利用导数判断函数的单调性，求得单调区间；②当m＞0时，曲线y=f（x）与曲线y=g（x）的公共点个数即方程e^x=mx²根的个数．
 由e^x=mx²得

1

m

=

x2

ex

设h(x)=

x2

ex

，利用导数研究函数h（x）的单调性，即可得出结论；
（2）根据导数的几何意义，利用导数与曲线切线斜率间的关系证明．

解答： 解：（1）①H（x）=f（x）g（x）=mx²e^x，则H'（x）=mxe^x（x+2）＞0得x＞0或x＜-2，
所以H（x）=f（x）g（x）的单调增区间为（0，+∞），（-∞，-2）．
②当m＞0时，曲线y=f（x）与曲线y=g（x）的公共点个数即方程e^x=mx²根的个数．
 由e^x=mx²得

1

m

=

x2

ex

设h(x)=

x2

ex

，h′(x)=

x(2-x)

ex

，
所以在R上不间断的函数h(x)=

x2

ex

在（-∞，0）上递减，在（0，2）上递增，在（2，+∞）上递减，
又因为m＞0，h(0)=0，h(2)=

4

e2

，h(4)=

16

e4

，h(-2)=4e2，
所以当h(2)＜

1

m

≤h(-2)时一公共点，解得

1

4e2

≤m＜

e2

4

，
当0＜

1

m

＜h(4)或

1

m

=h(2)时两公共点，解得m=

e2

4

或m＞

e4

16

，
当h(4)≤

1

m

＜h(2)时三公共点，解得

e2

4

＜m≤

e4

16

；
（2）设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂）则kAB=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

，kD=f′(

x1+x2

2

)，
则kAB-kD=

ax2-ax1

x2-x1

-a

x1+x2

2

•lna=

a x2+x1 2

x2-x1

[a

x2-x1

2

-a

x1-x2

2

-(x2-x1)lna]，
设

x2-x1

2

=t＞0，L（x）=a^t-a^-t-2tlna，则L'（x）=lna（a^t+a^-t-2），
①当a＞1时，a^t＞1，lna＞0，则L'（t）=（lna）（a^t+a^-t-2）＞0，
所以L（t）在（0，+∞）递增，则L（t）＞L（0）=0，
又因为

a x1+x2 2

x2-x1

＞0，所以

a x1+x_ 2

x2-x1

•[a

x2-x1

2

-a

x1-x2

2

-(x2-x1)lna]＞0，
所以k_AB-k_D＞0；
②当0＜a＜1时，0＜a^t＜1，lna＜0
则L'（t）=lna（a^t+a^-t-2）＜0，所以L（t）在（0，+∞）递减，则L（t）＜L（0）=0，
又因为

a x2+x1 2

x2-x1

＞0，所以

a x2+x1 2

x2-x1

[a

x2-x1

2

-a

x1-x2

2

-(x2-x1)lna]＜0，
所以k_AB-k_D＜0，
综上：当a＞1时k_AB＞k_D；当0＜a＜1时k_AB＜k_D．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、求曲线曲线的斜率等问题，逻辑思维强，考查学生的分析问题，解决问题的能力及运算求解能力，属于难题．