Question

已知向量

a

，

b

的夹角为60°，且|

a

|=2，|

b

|=1，求

a

-

b

与

a

+2

b

的夹角．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：由题意求得

a

•

b

、|

a

-

b

|=

( a - b )2

、|

a

+2

b

|=

( a +2 b )2

、（

a

-

b

）•（

a

+2

b

）的值．设

a

-

b

与

a

+2

b

的夹角为θ，再由cosθ=

( a - b )•( a +2 b )

| a - b |•| a +2 b |

 的值，求得θ 的值．

解答： 解：由题意可得

a

•

b

=2×1×cos60°=1，|

a

-

b

|=

( a - b )2

=

4-2+1

=

3

，|

a

+2

b

|=

( a +2 b )2

=

4+4+4

=2

3

，
（

a

-

b

）•（

a

+2

b

）=

a

2+

a

•

b

-2

b

2=4+1-2=3．
设求

a

-

b

与

a

+2

b

的夹角为θ，则 cosθ=

( a - b )•( a +2 b )

| a - b |•| a +2 b |

=

3

3 •2 3

=

1

2

，∴θ=

π

3

，
即

a

-

b

与

a

+2

b

的夹角为

π

3

．

点评：本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量数量积的定义，求向量的模，属于基础题．