Question

直线l与椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，已知

m

=（ax₁，by₁），

n

=（ax₂，by₂），若

m

⊥

n

且椭圆的离心率e=

3

2

，又椭圆经过点(

3

2

，1)，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求直线l的斜率k的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由椭圆的离心率公式和a，b，c的关系及椭圆经过点(

3

2

，1)，得到a，b，c的方程，解得即可；
（Ⅱ）设l的方程为y=kx+

3

，联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，
再由向量垂直的坐标表示，整理化简得到k的方程，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵

e= c a = a2-b2 a = 3 2 1 a2 + 3 4b2 =1

∴a=2，b=1∴椭圆的方程为

y2

4

+x2=1
（Ⅱ）依题意，设l的方程为y=kx+

3

，
由 

y=kx+ 3 y2 4 +x2=1

⇒(k2+4)x2+2

3

kx-1=0，
显然△=12k²+4（k²+4）＞0，x1+x2=

-2 3k

k2+4

，x1x2=

-1

k2+4

，
由

m

⊥

n

得

m

•

n

=0，即有
a2x1x2+b2y1y2=4x1x2+(kx1+

3

)(kx2+

3

)=(4+k2)x1x2+

3

k(x1+x2)+3
=(k2+4)(-

1

k2+4

)+

3

k•

-2 3 k

k2+4

+3=0，
解得k=±

2

．
即得直线l的斜率k的值为±

2

．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理，同时考查向量垂直的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．