Question

【题目】在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线上存在点，且过点的椭圆的两条切线相互垂直，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）根据离心率为的椭圆过点，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、即可得结果；（2）设切线方程为，代入椭圆方程得，则，化为，利用直线与圆有公共点，即可得结果.

（1）由题意，解得，又，解得

所以椭圆C的标准方程为．

（2）①当过点的椭圆的一条切线的斜率不存在时，另一条切线必垂直于轴，易得

②当过点的椭圆的切线的斜率均存在时，设

切线方程为，

代入椭圆方程得，

，

化简得：，

由此得，

设过点的椭圆的切线的斜率分别为，所以．

因为两条切线相互垂直，所以，即，

由①②知在圆上，又点在直线上，

所以直线与圆有公共点，

所以，所以．

综上所述，的取值范围为．