Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a，AA₁=2a，M，N分别是棱BB₁，DD₁的中点．
（Ⅰ）求异面直线A₁M与B₁C所成的角的余弦值；
（Ⅱ）求证：平面A₁MC₁⊥平面B₁NC₁．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由A₁D∥B₁C，又MA₁=

2

，A₁D=

5

，MD=

3

，可得cos∠MA₁D=

10

5

．
（Ⅱ）取AA₁的中点P，联结B₁P，NP，MP，则B₁P∥C₁N，可得A₁M⊥B₁P，A₁M⊥C₁N，又B₁C₁⊥平面A₁B，A₁M?平面A₁B，可得A₁M⊥平面B₁NC₁．从而可证平面A₁MC₁⊥平面B₁NC₁．

解答： 解：（Ⅰ）∵A₁D∥B₁C，∴∠MA₁D是异面直线A₁M与B₁C所成的角（或补角）．
又MA₁=

2

，A₁D=

5

，MD=

3

，
∴cos∠MA₁D=

10

5

．
∴A₁M与B₁C所成的角的余弦值为

10

5

 …（4分）
（Ⅱ）取AA₁的中点P，联结B₁P，NP，MP，则B₁PNC₁为平行四边形，∴B₁P∥C₁N
又A₁B₁MP₁为正方形，∴A₁M⊥B₁P，∴A₁M⊥C₁N，
又B₁C₁⊥平面A₁B，A₁M?平面A₁B，∴B₁C₁⊥A₁M，
∴A₁M⊥平面B₁NC₁．
又A₁M?平面A₁MC₁，∴平面A₁MC₁⊥平面B₁NC₁．…（8分）
（注意：若用向量法相应给分）

点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，平面与平面垂直的判定，属于基本知识的考查．