Question

【题目】如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，的最大值为，的最小值为，满足.

（1）若线段垂直于轴时，，求椭圆的方程；

（2）设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于，两点，是坐标原点，记的面积为，的面积为，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）依题意得，代入，结合，解方程组，可求得的值，即求得椭圆方程.（2）由（1）知，由此设出椭圆方程为，设出直线的方程并代入椭圆的方程，写出韦达定理，并写出点的坐标，利用求得点的横坐标，列出面积的表达式并化简，由此求得面积比的取值范围.

解：（1）设，则椭圆性质得：

，，而，

有，即，，

又且，得，，

因此椭圆的方程为：.

（2）由（1）可知，，椭圆的方程为.

由题意知直线的斜率一定存在不为零，设直线的方程为，，，则由消去并整理得.

，，

.

，

，

.

由与相似得.

故的取值范围为.