Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₂C₃的底面是边长为4正三角形，AA₁⊥平面ABC，AA₁=2

6

，M为A₁B₁的中点．
（Ⅰ）求证：MC⊥AB；
（Ⅱ）在棱CC₁上是否存在点P，使得MC⊥平面ABP？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）若点P为CC₁的中点，求二面角B-AP-C的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取AB中点O，连接OM，OC，证明AB⊥平面OMC，可得MC⊥AB；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，设P（0，2

3

，t）（0≤t≤2

6

），要使直线MC⊥平面ABP，只要

MC

•

OP

=0，

MC

•

AB

=0，即可得出结论；
（Ⅲ）若点P为CC₁的中点，求出平面PAC的一个法向量、平面PAB的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角B-AP-C的余弦值．

解答： （I）证明：取AB中点O，连接OM，OC．
∵M为A₁B₁中点，∴MO∥A₁A，
又A₁A⊥平面ABC，∴MO⊥平面ABC，
∴MO⊥AB
∵△ABC为正三角形，∴AB⊥CO  
又MO∩CO=O，∴AB⊥平面OMC
又∵MC?平面OMC∴AB⊥MC
（II）解：以O为原点，建立空间直角坐标系．如图．
依题意O（0，0，0），A（-2，0，0）B（2，0，0），C（0，2

3

，0），M（0，0，2

6

）．    
设P（0，2

3

，t）（0≤t≤2

6

），
则

MC

=（0，2

3

，-2

6

），

AB

=（4，0，0），

OP

=（0，2

3

，t）．
要使直线MC⊥平面ABP，只要

MC

•

OP

=0，

MC

•

AB

=0，
即12-2

6

t=0，解得t=

6

．         
∴P的坐标为（0，2

3

，

6

）．
∴当P为线段CC₁的中点时，MC⊥平面ABP
（Ⅲ）解：取线段AC的中点D，则D（-1，

3

，0），易知DB⊥平面A₁ACC₁，
故

DB

=（3，-

3

，0）为平面PAC的一个法向量．…．（11分）
又由（II）知

MC

=（0，2

3

，-2

6

）为平面PAB的一个法向量．    
设二面角B-AP-C的平面角为α，则cosα=|

MC • DB

| MC || DB |

|=

3

6

．
∴二面角B-AP-C 的余弦值为

3

6

．

点评：本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．