Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为

1

2

，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点F₁，F₂构成的三角形中面积的最大值为

3

．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）已知点P（4，0），联结AP与椭圆的另一交点记为B，若AP与椭圆相切则视为A，B重合，联结BF₂与椭圆的另一交点记为C，求

PA

•

F2C

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据椭圆M的离心率为

1

2

，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点F₁，F₂构成的三角形中面积的最大值为

3

，可得：

c

a

=

1

2

，

1

2

×2c×b=

3

，求出几何量，即可求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）不妨设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），AP的方程为：y=k₁（x-4）代入椭圆方程，求出x1x2=

8x2-5 x 2 2

5-2x2

；BF₂的方程为：y=k₂（x-1）代入椭圆方程，求出x2x3=

8x2-5 x 2 2

5-2x2

，根据x₁=x₃，A，C不重合，可得y₃=-y₁，进而表示出

PA

•

F2C

，即可求出其取值范围．

解答： 解：（I）由题可知：

c

a

=

1

2

，

1

2

×2c×b=

3

解得：a=2，b=

3

，c=1
故椭圆M的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1…（5分）
（II）不妨设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）
由题意可知直线AP的斜率是存在的，故设直线AP的斜率为k₁，直线BF₂的斜率为k₂，
AP的方程为：y=k₁（x-4）代入椭圆方程

x2

4

+

y2

3

=1得(4k12+3)x2-32k12x+64k12-12=0，
x1x2=

64k12-12

4k12+3

=16-

60

4k12+3

将k1=

y2

x2-4

y

2 2

=3-

3

4

x

2 2

代入解得：x1x2=

8x2-5 x 2 2

5-2x2

…（7分）
BF₂的方程为：y=k₂（x-1）代入椭圆方程

x2

4

+

y2

3

=1得(4k22+3)x2-8k22x+4k22-12=0，
x2x3=

4k22-12

4k22+3

=1-

15

4k22+3

将k2=

y2

x2-1

，

y

2 2

=3-

3

4

x

2 2

代入解得：x2x3=

8x2-5 x 2 2

5-2x2

…（9分）
∴x₁=x₃，
又∵A，C不重合，∴y₃=-y₁…（10分）
∴

PA

•

F2C

=(x1-4，y1)•(x1-1，-y1)=

x

2 1

-5x1+4-

y

2 1

=

7

4

x

2 1

-5x1+1=

7

4

(x1-

10

7

)2-

18

7

（-2＜x₁＜2）…（12分）
∴-

18

7

≤

PA

•

F2C

＜18…（13分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．