Question

【题目】已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的焦距为2 ，其上下顶点分别为C1 ， C2 ， 点A（1，0），B（3，2），AC1⊥AC2 ．
（1）求椭圆E的方程及离心率；
（2）点P的坐标为（m，n）（m≠3），过点A任意作直线l与椭圆E相交于点M，N两点，设直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列，探究m，n之间是否满足某种数量关系，若是，请给出m，n的关系式，并证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AC1⊥AC2，C1（0，b），C2（0，﹣b），A（1，0），

∴ =1﹣b2=0，∴b2=1．

∵2c=2 ，解得c= ，∴a2=b2+c2=3．

∴椭圆E的方程为 =1．

离心率e= = =

（2）解：m，n之间满足数量关系m=n+1．下面给出证明：

①当取M ，N 时，kMB= ，kBP= ，kNB= ，

∵直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列，∴2× = + ，化为：m=n+1．

②当直线MN的斜率不为0时，设直线MN的方程为：ty+1=x．M（x1，y1），N（x2，y2）．

联立 ，化为：（t2+3）y2+2ty﹣2=0，

∴y1+y2= ，y1y2= ．

kMB= ，kBP= ，kNB= ，

∵直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列，

∴2× = + ，

由于 + = = =2，

∴ =1，化为：m=n+1

【解析】（1）由AC1⊥AC2 ， 可得 =1﹣b2=0，又2c=2 ，a2=b2+c2 ， 即可得出．（2）m，n之间满足数量关系m=n+1．下面给出证明：①当取M ，N 时，根据斜率计算公式、及其直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列即可证明．②当直线MN的斜率不为0时，设直线MN的方程为：ty+1=x．M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）．与椭圆方程联立化为：（t2+3）y2+2ty﹣2=0，根据斜率计算公式、及其直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列、根与系数的关系化简即可证明．