Question

4．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（4-x）=f（x），f（-1）=6，数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=-1，Sn=2a_n+n （n∈N^﹡），则f（a₅）+f（a₆）=-12．

Answer 1

分析 先由函数f（x）是奇函数，f（4-x）=f（x），推知f（8+x）=f（x），得到f（x）是以8为周期的周期函数．再由a₁=-1，且S_n=2a_n+n，推知a₅=-31，a₆=-63计算即可得答案．

解答 解：∵函数f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∵f（4-x）=f（x），
∴f（4-x）=-f（-x），即f（4+x）=-f（x），
∴f（4+4+x）=-f（4+x）=f（x），
∴f（8+x）=f（x），
则f（x）是以8为周期的周期函数．
∵数列{a_n}满足a₁=-1，且S_n=2a_n+n，∴S_n-1=2a_n-1+n-1，∴a_n=2a_n-2a_n-1+1，
即a_n=2a_n-1-1，a_n-1=2（a_n-1-1），{a_n-1}以-2为首项，2为公比的等比数列．
a_n=1-2ⁿ．
∴a₅=-31，a₆=-63，
∴f（a₅）+f（a₆）=f（-31）+f（-63）=f（1）+f（1）=2f（1）=-2f（-1）=-12．
故答案为：-12．

点评 本题主要考查函数性质的转化与应用，考查数列的通项及求和公式，在函数性质综合应用中，结合奇偶性，对称性和周期性球函数周期是一个重点，是中档题．