Question

15．已知曲线C上任意一点到点F（1，0）的距离比到直线x+2=0的距离小1，点P（4，0）．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设Q是曲线C上的动点，求|PQ|的最小值；
（Ⅲ）过点P的直线l与曲线C交于M、N两点，若△FMN的面积为6$\sqrt{5}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得，点P到F（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等，由抛物线的定义可得点的轨迹是以F（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，从而可求曲线C的方程；
（Ⅱ）设Q（x，y），再由两点的距离公式，结合抛物线方程，配方即可得到所求最小值；
（Ⅲ）方法一、设直线l：x=my+4，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式、三角形面积公式计算即可得到；
方法二、讨论直线的斜率不存在，不成立；设直线l：y=k（x-4），（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式、三角形面积公式计算即可得到直线方程．

解答 解：（I）由题意，P到F（1，0）距离等于它到直线x=-1的距离，
由抛物线定义，知C为抛物线，F（1，0）为焦点，x=-1为准线，
所以C的方程为y²=4x；     …3分
（II）解：设Q（x，y），
则$|PQ|=\sqrt{{{（x-4）}^2}+{y^2}}=\sqrt{{{（x-4）}^2}+4x}$=$\sqrt{{{（x-2）}^2}+12}$
∴$当x=2时，|PQ{|_{min}}=2\sqrt{3}$…3分
（Ⅲ）解：设直线l：x=my+4，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
焦点F（1，0）
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+4\\{y^2}=4x\end{array}\right.$消去x得y²-4my-16=0，
由韦达定理可得$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=4{m_{\;}}\\{y_1}{y_2}=-16\end{array}\right.$，
所以△FMN的面积${S_{△FMN}}=\frac{1}{2}|PF|•|{y_1}-{y_2}|$=$\frac{1}{2}•3•\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$
=$\frac{3}{2}•\sqrt{{{（4m）}^2}+64}=6\sqrt{{m^2}+4}=6\sqrt{5}$，
∴m=±1，
所以直线l的方程为：x±y-4=0…12分
（方法二）解：若直线l的斜率不存在，则l：x=4，M（4，4），N（4，-4）
所以△FMN的面积${S_{△FMN}}=\frac{1}{2}|CF|•8$=$\frac{1}{2}•3•8=12≠6\sqrt{5}$，不符合
所以直线l的斜率必存在
设直线l：y=k（x-4），（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），焦点F（1，0）
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-4）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$消去y得k²x²-4（2k²+1）x+16k²=0
由韦达定理可得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=\frac{{4（2{k^2}+1）}}{k^2}\\{x_1}{x_2}=16\end{array}\right.$
弦长$|MN|=\sqrt{（1+{k^2}）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}$=$\sqrt{（1+{k^2}）[{{（8+\frac{4}{k^2}）}^2}-64]}$=$\sqrt{\frac{{16（1+{k^2}）（1+4{k^2}）}}{k^4}}$，
F到l的距离$d=\frac{|3k|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$．
所以△FMN的面积${S_{△FMN}}=\frac{1}{2}|MN|•d$=$6\sqrt{\frac{{1+4{k^2}}}{k^2}}=6\sqrt{5}$
∴k=±1
所以直线l的方程为：x±y-4=0…12分．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查抛物线方程和直线方程联立，运用韦达定理和弦长公式、三角形面积公式，考查运算化简能力，属于中档题．