Question

已知椭圆的离心率，且直线是抛物线的一条切线.

（1）求椭圆的方程；

（2）点P 为椭圆上一点，直线，判断l与椭圆的位置关系并给出理由；

（3）过椭圆上一点P作椭圆的切线交直线于点A，试判断线段AP为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

 

Answer 1

(1) ;(2) 直线l与椭圆相切;(3)

【解析】

试题分析：(1)直线是抛物线的一条切线.所以将直线代入抛物线方程，即，得出的值，利用，椭圆中,依次解出,从而解出方程；

（2）直线与椭圆方程联立，注意用到平方相减消，得到关于的方程，求其，利用点在椭圆上的条件，判定直线与椭圆的位置关系;

（3）首先取两种特殊情形：切点分别在短轴两端点时,求其切线方程，并求他们的交点，交点有可能是恒过的定点，如果是圆上恒过的定点，如果是则需满足，,从而判定所求交点是否是真正的定点.此题属于较难习题.

试题解析：（1）因为直线是抛物线的一条切线，所以，

即 2分

又，所以，

所以椭圆的方程是. 4分

（2）由得

由①2+②得

∴直线l与椭圆相切 9分

(3）首先取两种特殊情形：切点分别在短轴两端点时，

求得两圆的方程为

，

两圆相交于点（，0），（，0），

若定点为椭圆的右焦点（.

则需证：.

设点，则椭圆过点P的切线方程是，

所以点

，

所以. 11分

若定点为，

则，不满足题意.

综上，以线段AP为直径的圆恒过定点（，0）. 14分

考点：1.椭圆的性质与方程；2.直线与圆锥曲线相交时的综合问题.