Question

10．设F是椭圆$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{8}$=1的右焦点，点A（1，2），M是椭圆上一动点，则MA+MF取值范围为（6-2$\sqrt{2}$，6+2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 椭圆左焦点设为F₁，连接MF₁．利用椭圆的定义以及在三角形中，两边之差总小于第三边，当A、M、F₁成一直线时，|MA|-|MF₁|最大，求解即可．利用|MA|+|MF₂|=|MA|+6-|MF₁|=10-（|MF₁|-|MA|）≥6-|AF₁|，即可得出其最小值．

解答 解：由椭圆$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{8}$=1的焦点在x轴上，a=3，b=2$\sqrt{2}$，c=1，
左焦点为F₁（-1，0），连接MF₁．
由椭圆的定义可知：|MF₁|+|MF|=2a，
|MA|+|MF|=|MA|+2a-|MF₁|=6+|MA|-|MF₁|．
即|MA|-|MF₁|最大时，|MA|+|MF₂|最大．
在△AMF₁中，两边之差总小于第三边，所以当A、M、F₁成一直线时，|MA|-|MF₁|最大，
|MA|-|MF₁|=|AF₁|=$\sqrt{（1+1）^{2}+（2-0）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴|MA|+|MF₂|的最大值是6+2$\sqrt{2}$．
∴|MA|+|MF₂|=|MA|+6-|MF₁|=6-（|MF₁|-|MA|）≥10-|AF₁|=6-2$\sqrt{2}$，
∴|MA|+|MF|的取值范围（6-2$\sqrt{2}$，6+2$\sqrt{2}$），
故答案为：（6-2$\sqrt{2}$，6+2$\sqrt{2}$）．

点评 本题主要考查圆锥曲线的定义的应用，在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，考查数形结合思想的应用，属于中档题．