Question

15．已知函数f（x）=xe^2x-lnx-ax．
（1）当a=0时，求函数f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上的最小值；
（2）若?x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，求a的取值范围；
（3）若?x＞0，不等式f（$\frac{1}{x}$）-1≥$\frac{1}{x}$e${\;}^{\frac{2}{x}}$+$\frac{\frac{1}{e-1}+\frac{1}{x}}{{e}^{\frac{x}{e}}}$恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a=0时，${f}^{'}（x）=（2x+1）{e}^{2x}-\frac{1}{x}$，${f}^{''}（x）=（4x+4）{e}^{2x}+\frac{1}{{x}^{2}}＞0$，由此利用导数性质能求出函数f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上的最小值．
（2）${f}^{'}（x）=（2x+1）{e}^{2x}-\frac{1}{x}-a$，函数f（x）在区间（0，x₀）上递减，在（x₀，+∞）上递增，由?x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，得lnx₀+2x₀²${e}^{2{x}_{0}}$≤0，由此能求出a的取值范围．（3）由f（$\frac{1}{x}$）-1≥$\frac{1}{x}{e}^{\frac{2}{x}}+\frac{\frac{1}{e-1}+\frac{1}{x}}{{e}^{\frac{x}{e}}}$，得a$≤xlnx-x-\frac{\frac{x}{e-1}+1}{{e}^{\frac{x}{e}}}$对任意x＞0成立，令函数g（x）=xlnx-x-$\frac{\frac{x}{e-1}+1}{{e}^{\frac{x}{e}}}$，则${g}^{'}（x）=lnx+\frac{x-1}{e（e-1）{e}^{\frac{x}{e}}}$，由此利用导数性质能求出a的取值范围．

解答 解：（1）a=0时，f（x）=xe^2x-lnx，
∴${f}^{'}（x）=（2x+1）{e}^{2x}-\frac{1}{x}$，${f}^{''}（x）=（4x+4）{e}^{2x}+\frac{1}{{x}^{2}}＞0$，
∴函数f′（x）在（0，+∞）上是增函数，
又函数f′（x）的值域为R，
故?x₀＞0，使得f′（x₀）=（2x₀+1）e${\;}^{2{x}_{0}}$-$\frac{1}{{x}_{0}}$=0，
又∵${f}^{'}（\frac{1}{2}）=2e-2＞0$，∴${x}_{0}＜\frac{1}{2}$，∴当x∈[$\frac{1}{2}，1$]时，f′（x）＞0，
即函数f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，1]上递增，∴$f（x）_{min}=f（\frac{1}{2}）=\frac{e}{2}+ln2$．
（2）${f}^{'}（x）=（2x+1）{e}^{2x}-\frac{1}{x}-a$，
由（1）知函数f′（x）在（0，+∞）上是增函数，且?x₀＞0，使得f′（x₀）=0，
进而函数f（x）在区间（0，x₀）上递减，在（x₀，+∞）上递增，
$f（x）_{min}=f（{x}_{0}）={x}_{0}{e}^{2{x}_{0}}$-lnx₀-ax₀，
由f′（x₀）=0，得：（2x₀+1）e${\;}^{2{x}_{0}}$-$\frac{1}{{x}_{0}}$-a=0，
∴$a{x}_{0}=（2{{x}_{0}}^{2}+{x}_{0}）{e}^{2{x}_{0}}-1$，∴f（x₀）=1-lnx₀-2x₀²${e}^{2{x}_{0}}$，
∵?x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，
∴1-lnx₀-2x₀²e${\;}^{2{x}_{0}}$≥1，∴lnx₀+2x₀²${e}^{2{x}_{0}}$≤0，
设h（x₀）=lnx₀+2x${{\;}_{0}}^{2}$e${\;}^{2{x}_{0}}$，则h（x₀）为增函数，且有唯一零点，设为t，
则h（t）=lnt+2t²e^2t=0，则-lnt=2t²e^2t，即$\frac{1}{t}ln\frac{1}{t}=2t{e}^{2t}$，
令g（x）=xe^x，则g（x）单调递增，且g（2t）=g（$ln\frac{1}{t}$），
则2t=ln$\frac{1}{t}$，即${e}^{2t}=\frac{1}{t}$，
∵a=（2x₀+1）${e}^{2{x}_{0}}$-$\frac{1}{{x}_{0}}$在（0，t]为增函数，
则当x₀=t时，a有最大值，${a}_{max}=（2t+1）{e}^{2t}-\frac{1}{t}$=$（2t+1）\frac{1}{t}-\frac{1}{t}=2$，
∴a≤2，∴a的取值范围是（-∞，2]．
（3）由f（$\frac{1}{x}$）-1≥$\frac{1}{x}{e}^{\frac{2}{x}}+\frac{\frac{1}{e-1}+\frac{1}{x}}{{e}^{\frac{x}{e}}}$，
得$\frac{1}{x}{e}^{\frac{2}{x}}-ln\frac{1}{x}-\frac{a}{x}-1≥\frac{1}{x}{e}^{\frac{2}{x}}+\frac{\frac{1}{e-1}+\frac{1}{x}}{{e}^{\frac{x}{e}}}$，
∴xlnx-x-a≥$\frac{\frac{x}{e-1}+1}{{e}^{\frac{x}{e}}}$，∴a$≤xlnx-x-\frac{\frac{x}{e-1}+1}{{e}^{\frac{x}{e}}}$对任意x＞0成立，
令函数g（x）=xlnx-x-$\frac{\frac{x}{e-1}+1}{{e}^{\frac{x}{e}}}$，∴${g}^{'}（x）=lnx+\frac{x-1}{e（e-1）{e}^{\frac{x}{e}}}$，
当x＞1时，g′（x）＞0，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，
∴当x=1时，函数g（x）取得最小值g（1）=-1-$\frac{\frac{1}{e-1}+1}{{e}^{\frac{1}{e}}}$=-1-$\frac{e}{（e-1）{e}^{\frac{1}{e}}}$，
∴a≤-1-$\frac{e}{（e-1）{e}^{\frac{1}{e}}}$．
∴a的取值范围是（-∞，-1-$\frac{e}{（e-1）{e}^{\frac{1}{e}}}$）．

点评 本题考查函数的最小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，注意导数性质的合理运用．