Question

12．已知f（x）=xe^x，g（x）=-（x+1）²+a，若?x₁，x₂∈R使得f（x₁）≤g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别根据导数和二次函数的性质求出其最小值和最大值得到关于a的不等式，解出即可

解答 解：f'（x）=e^x+xe^x=（1+x）e^x，
当x＞-1时，f'（x）＞0，函数递增；
当x＜-1时，f'（x）＜0，函数递减，
所以当x=-1时，f（x）取得极小值即最小值 $f（{-1}）=-\frac{1}{e}$．
函数 g（x）的最大值为a，若?x₁，x₂∈R使得f（x₁）≤g（x₂）成立．
则有g（x）的最大值大于等于f（x）的最小值，
即a≥-$\frac{1}{e}$，
故实数a的取值范围为[-$\frac{1}{e}$，+∞）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题、属于中档题．