Question

20．已知数列{a_n}是公差为-2的等差数列，a₆是a₁+2与a₃的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n+2ⁿ}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得 a₆²=（a₁+2）a₃，求出首项，任何求出a_n=8-2n．
（2）利用分项求和，求解数列的和即可．

解答 解：（1）因为a₆是a₁+2与a₃的等比中项，
所以a₆²=（a₁+2）a₃．（2分）
因为数列{a_n}是公差为-2的等差数列，
所以（a₁-10）²=（a₁+2）（a₁-4），（4分）
解得a₁=6．（6分）
所以a_n=a₁+（n-1）d=6-2（n-1）=8-2n．（8分）
（2）数列a_n+2ⁿ=8-2n+2ⁿ．
S_n=（6+4+2+0+…+（8-2n））+（2+2²+2³+…+2ⁿ）
=（7-n）n+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=2ⁿ⁺¹-n²+5．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．