Question

20．在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=mbcosC，m为常数．
（1）若m=2，且cosC=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，求cosA的值；
（2）若m=4，求tan（C-B）的最大值．

Answer 1

分析 （1）a=2bcosC，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，代入可得b=c，再利用倍角公式即可得出．
（2）利用正弦定理、倍角公式、和差公式即可得出．

解答 解：（1）∵a=2bcosC，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
∴a=2b×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
∴b=c，∴B=C．
∴cosA=cos（π-B-C）=-cos2C，
cos2C=2cos²C-1=2•$（\frac{\sqrt{10}}{10}）^{2}$-1=-$\frac{4}{5}$．
∴cosA=$\frac{4}{5}$．
（2）∵a=4bcosC，$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，
∴sinA=4sinBcosC，
而sinA=sin（π-B-C）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴3sinBcosC=cosBsinC，
∵在△ABC中，cosC≤0，cosB≤0，不满足上式
∴B，C∈$（0，\frac{π}{2}）$，∴cosCcosB≠0．
∴tanC=3tanB．
∴tan（C-B）=$\frac{tanC-tanB}{1+tanCtanB}$=$\frac{2tanB}{1+3ta{n}^{2}B}$．
∵B，C∈$（0，\frac{π}{2}）$，∴1+3tan²B≥$2\sqrt{3}$tanB，
∴tan（C-B）≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴tan（C-B）的最大值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，此时B=$\frac{π}{6}$，C=$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、倍角公式、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．