Question

3．如图，C，D是以AB为直径的半圆上两点，且$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$．
（1）若CD∥AB，证明：直线AC平分∠DAB；
（2）作DE⊥AB交AC于E，证明：CD²=AE•AC．

Answer 1

分析 （1）证明：直线AC平分∠DAB，只要证明∠DAC=∠BAC，利用平行线的性质及等弧对等角即可；
（2）作DE⊥AB交AC于E，证明：△ADE∽△ACD，即可证明CD²=AE•AC．

解答 证明：（1）∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠BAC，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠DAC=∠DCA，
∴∠DAC=∠BAC，
∴直线AC平分∠DAB；
（2）∵DE⊥AB，
∴∠ADE+∠DAB=90°，
∵AB为直径，
∴∠DBA+∠DAB=90°，
∴∠ADE=∠ABD，
∵∠ABD=∠DCA，
∴∠ADE=∠ACD，
∴△ADE∽△ACD，
∴AD²=AE•AC，
∵AD=DC，
∴CD²=AE•AC．

点评 本题考查平行线的性质，考查三角形相似的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．