Question

7．已知（4$\root{4}{\frac{1}{x}}$+$\root{3}{{x}^{2}}$）ⁿ展开式中的倒数第三项的二项式系数为45．
（1）求n；
（2）求含有x³的项；
（3）求二项式系数最大的项．

Answer 1

分析 （1）由条件利用二项式系数的性质求得n的值．
（2）先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于03，求得r的值，即可求得展开式中含有x³的项．
（3）此展开式共有11项，二项式系数最大的项是第6项，再利用通项公式得出结论．

解答 解　（1）由已知得${C}_{n}^{n-2}$=45，即${C}_{n}^{2}$=45，
∴n²-n-90=0，解得n=-9（舍）或n=10．
（2）由通项公式得：T_k+1=${C}_{10}^{r}$•4^10-r•${x}^{\frac{11r}{12}-\frac{5}{2}}$，令$\frac{11r}{12}$-$\frac{5}{2}$=3，求得r=6，
∴含有x³的项是T₇=${C}_{10}^{6}$•4⁴•x³ =53 760x³．
（3）∵此展开式共有11项，∴二项式系数最大的项是第6项，
∴T₆=${C}_{10}^{5}$•4⁵•${x}^{\frac{25}{12}}$=258048•${x}^{\frac{25}{12}}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．