Question

17．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+4}$．
（1）求证：{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$}为等比数列；
（2）求证：S_n＜$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由条件取倒数，再两边加上$\frac{1}{3}$，结合等比数列的定义即可得证；
（2）运用等比数列的通项公式，化简可得a_n=$\frac{3}{{4}^{n}-1}$，由$\frac{3}{{4}^{n}-1}$-$\frac{1}{{4}^{n-1}}$=$\frac{1-{4}^{n-1}}{{4}^{n-1}（{4}^{n}-1）}$≤0，可得$\frac{3}{{4}^{n}-1}$≤$\frac{1}{{4}^{n-1}}$，n≥1．再由等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证．

解答 证明：（1）a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+4}$，
可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=4•$\frac{1}{{a}_{n}}$+1，
即有$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{3}$=4（$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$），
则{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$}为首项为$\frac{4}{3}$，公比为4的等比数列；
（2）由（1）可得$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$•4^n-1，
即有a_n=$\frac{3}{{4}^{n}-1}$，
由$\frac{3}{{4}^{n}-1}$-$\frac{1}{{4}^{n-1}}$=$\frac{1-{4}^{n-1}}{{4}^{n-1}（{4}^{n}-1）}$≤0，可得
$\frac{3}{{4}^{n}-1}$≤$\frac{1}{{4}^{n-1}}$，n≥1．
则S_n=1+$\frac{3}{{4}^{2}-1}$+$\frac{3}{{4}^{3}-1}$+…+$\frac{3}{{4}^{n}-1}$
＜1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n-1}}$=$\frac{1-\frac{1}{{4}^{n}}}{1-\frac{1}{4}}$
=$\frac{4}{3}$（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）＜$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查构造法的运用，以及数列不等式的证明，注意运用放缩法和等比数列的求和公式，以及不等式的性质，考查化简整理能力，属于中档题．