Question

9．已知数列1$\frac{1}{2}$，2$\frac{1}{4}$，3$\frac{1}{8}$，4$\frac{1}{16}$，…
（1）求该数列的通项公式；
（2）$\frac{10241}{1024}$是该数列的第几项？
（3）求该数列的前10项和．

Answer 1

分析 （1）根据数列前4项猜想a_n=n+$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（2）化简$\frac{10241}{1024}$=10+$\frac{1}{{2}^{10}}$，从而确定数列的项；
（3）记该数列的前10项和为S₁₀，从而化简S₁₀=1$\frac{1}{2}$+2$\frac{1}{4}$+3$\frac{1}{8}$+4$\frac{1}{16}$+…+10+$\frac{1}{{2}^{10}}$=1+2+3+…+10+（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{10}}$），从而分别求和．

解答 解：（1）根据数列前4项1$\frac{1}{2}$，2$\frac{1}{4}$，3$\frac{1}{8}$，4$\frac{1}{16}$猜想a_n=n+$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（2）$\frac{10241}{1024}$=10+$\frac{1}{{2}^{10}}$，
故$\frac{10241}{1024}$是该数列的第10项；
（3）记该数列的前10项和为S₁₀，
S₁₀=1$\frac{1}{2}$+2$\frac{1}{4}$+3$\frac{1}{8}$+4$\frac{1}{16}$+…+10+$\frac{1}{{2}^{10}}$
=1+2+3+…+10+（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{10}}$）
=$\frac{1+10}{2}$×10+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{10}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=55+1-$\frac{1}{{2}^{10}}$
=56-$\frac{1}{{2}^{10}}$=55$\frac{1023}{1024}$．

点评 本题考查了数列的通项公式的求法及前n项和公式的应用，同时考查了分类法的应用．