Question

14．如图所示，在△BCD所在平面α内有一点E，BE=7cm，A为平面α外一点，AB⊥BC，AB⊥BD，且AB=5cm．
计算：
（1）直线AE和平面α所成的角的大小；
（2）线段AE的长．（精确到0.1cm）

Answer 1

分析 （1）推导出AB⊥α，则∠AEB是直线AE和平面α所成的角，由此能求出直线AE和平面α所成的角的大小．
（2）由AB⊥α，得AB⊥BE，由此利用勾股定理能求出AE．

解答 解：（1）∵在△BCD所在平面α内有一点E，BE=7cm．
A为平面α外一点，AB⊥BC，AB⊥BD，BD∩BC=B，且AB=5cm，
∴AB⊥α，∴∠AEB是直线AE和平面α所成的角，
∴tan∠AEB=$\frac{AB}{BE}$=$\frac{5}{7}$，
∴∠AEB=arctan$\frac{5}{7}$，
∴直线AE和平面α所成的角的大小为arctan$\frac{5}{7}$．
（2）∵AB⊥α，BE?α，∴AB⊥BE，
∴AE=$\sqrt{{5}^{2}+{7}^{2}}$=$\sqrt{74}$≈8.6（cm）．

点评 本题考查线面角的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．