Question

5．已知函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2sin（x-$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）
（Ⅰ）求函数y=f（x）的对称轴方程，并求在区间[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的最值；
（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足c=$\sqrt{3}$，f（C）=1，且sinB=sinA，求a、b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用和差公式、倍角公式可得：f（x）=$sin（2x-\frac{π}{6}）$，再利用三角函数的图象与性质即可得出．
（Ⅱ）$f（C）=sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，由于0＜C＜π，可得：$-\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$$＜\frac{11π}{6}$，可得C．因为sinB=2sinA，所以由正弦定理得b=2a，再利用余弦定理即可得出．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2sin（x-$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinx-cosx）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinx+cosx）
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos2x
=$sin（2x-\frac{π}{6}）$，
∵$2x-\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}$，4分
∴对称轴方程为：$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}$，（5分）      
∵x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，∴$（2x-\frac{π}{6}）$∈$[-\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$，
f（x）在区间[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]上单调递增，在区间$[\frac{π}{3}，\frac{π}{2}]$上单调递减，
所以，当x=$\frac{π}{3}$时，f（x）取最大值 1    （7分）
又  $f（-\frac{π}{12}）$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$f（\frac{π}{2}）$=$\frac{1}{2}$，当x=-$\frac{π}{12}$时，f（x）取最小值-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．  （8分）
（Ⅱ）$f（C）=sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，∵0＜C＜π，0＜2C＜2π，
∴$-\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$$＜\frac{11π}{6}$，
∴$2C-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，C=$\frac{π}{3}$，（10分）
因为sinB=2sinA，所以由正弦定理得b=2a，（11分）
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$，即c²=a²+b²-ab=3  （12分）
解得：a=1，b=2．（13分）

点评 本题考查了正弦定理、倍角公式、和差公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．