Question

1．已知函数f（x）=2cosωx（asinωx+$\sqrt{3}$cosωx）-$\sqrt{3}$（a，ω＞0）的最大值为2，f（x）的两个零点之间距离的最小值为$\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若锐角B满足f（B）=0，b=2$\sqrt{3}$，S_△ABC=2$\sqrt{3}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）化简f（x），利用f（x）的最大值求出a的值，再利用f（x）两个零点之间距离的最小值求出ω的值即可；
（2）根据锐角B满足f（B）=0，求出B的值；再利用余弦定理以及正弦定理的推论求出a+c的值，即得△ABC的周长．

解答 解：（1）∵f（x）=2cosωx（asinωx+$\sqrt{3}$cosωx）-$\sqrt{3}$
=2asinωxcosωx+2$\sqrt{3}$cos²ωx-$\sqrt{3}$
=asin2ωx+$\sqrt{3}$cos2ωx，
f（x）的最大值为2，
∴$\sqrt{{a}^{2}{+（\sqrt{3}）}^{2}}$=2，解得a=1；
又f（x）的两个零点之间距离最小值为$\frac{π}{2}$，
∴T=$\frac{2π}{2ω}$=π，解得ω=1，
∴f（x）=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）；
（2）在△ABC中，锐角B满足f（B）=0，
即2sin（2B+$\frac{π}{3}$）=0，
∴2B+$\frac{π}{3}$=π，解得B=$\frac{π}{3}$；
又b=2$\sqrt{3}$，
∴b²=a²+c²-2accosB，
即12=a²+c²-ac①；
又S_△ABC=2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$ac•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
得ac=8②，
由①②得（a+c）²=a²+c²+2ac=20+16=36，
∴a+c=6，
∴a+b+c=6+2$\sqrt{3}$，
即△ABC的周长为6+2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦函数的图象以及正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．