Question

11．求函数y=2+2sinxcosx+sinx+cosx的最大值和最小值．

Answer 1

分析 令t=sinx+cosx，由和差角的三角函数公式可得t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，换元可得y=（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，由二次函数区间的最值可得．

解答 解：令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
平方可得t²=1+2sinxcosx，则2sinxcosx=t²-1，
换元可得y=2+t²-1+t=t²+t+1=（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
由二次函数可知当t=-$\frac{1}{2}$时，函数取最小值$\frac{3}{4}$，
当t=$\sqrt{2}$时，函数取最大值3+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及换元法和二次函数区间的最值，属中档题．