Question

3．已知正数数列{x_n}满足x₁=$\frac{1}{2}$，x_n+1=$\frac{1}{1+{x}_{n}}$，n∈N^*．
（1）求x₂，x₄，x₆．
（2）猜想数列{x_2n}的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由正数数列{x_n}满足x₁=$\frac{1}{2}$，x_n+1=$\frac{1}{1+{x}_{n}}$，n∈N^*．可得x₂=$\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$．同理可得x₄，x₆．
（2）由x₂≥x₄≥x₆．猜想：数列{x_2n}的单调递减．利用数学归纳法证明即可得出．

解答 解：（1）∵正数数列{x_n}满足x₁=$\frac{1}{2}$，x_n+1=$\frac{1}{1+{x}_{n}}$，n∈N^*．
∴x₂=$\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$．同理可得x₄=$\frac{5}{8}$，x₆=$\frac{13}{21}$．
（2）由x₂≥x₄≥x₆．猜想：数列{x_2n}的单调递减．
下面利用数学归纳法证明：①当n=1，2时，命题成立．
②假设当n=k∈N^*时命题成立，即x_2k＞x_2k+2，x_k＞0．
当n=k+1时，x_2k+2-x_2k+4=$\frac{1}{1+{x}_{2k+1}}$-$\frac{1}{1+{x}_{2k+3}}$=$\frac{{x}_{2k+3}-{x}_{2k+1}}{（1+{x}_{2k+1}）（1+{x}_{2k+3}）}$=$\frac{{x}_{2k}-{x}_{2k+2}}{（1+{x}_{2k}）（1+{x}_{2k+1}）（1+{x}_{2k+2}）（1+{x}_{2k+3}）}$＞0，即x_2（k+1）＞x_2（k+1）+2，也就是说，当n=k+1时命题也成立．
结合①和②知命题成立．

点评 本题考查了数列递推式、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．