Question

13．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n且a₂+a₈=-8，a₆=0，数列{b_n}满足$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=3，且b₃=9，
（1）求数列{a_n}的通项公式与前n项和S_n的表达式；
（2）记c_n=（$\frac{{a}_{n}}{4}+7$）•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n的表达式．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）利用等比数列的通项公式可得b_n，再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₂+a₈=-8，a₆=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+8d=-8}\\{{a}_{1}+5d=0}\end{array}\right.$，解得a₁=-20，d=4，
∴a_n=-20+4（n-1）=4n-24．
∴S_n=$\frac{n（-20+4n-24）}{2}$=2n²-22n．
（2）数列{b_n}满足$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=3，且b₃=9，
∴数列{b_n}是等比数列，公比为3．
∴b_n=${b}_{3}×{3}^{n-3}$=9×3^n-3=3^n-1．
∴c_n=（$\frac{{a}_{n}}{4}+7$）•b_n=$（\frac{4n-24}{4}+7）•{3}^{n-1}$=（n+1）•3^n-1．
∴数列{c_n}的前n项和T_n=2×1+3×3+4×3²+…+（n+1）•3^n-1，
3T_n=2×3+3×3²+…+n•3^n-1+（n+1）•3ⁿ，
∴-2T_n=2+3+3²+…+3^n-1-（n+1）•3ⁿ=1+$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$-（n+1）•3ⁿ=$\frac{1}{2}$-$\frac{2n+1}{2}$•3ⁿ，
∴T_n=$\frac{2n+1}{4}•{3}^{n}$-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．