Question

18．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（1-2a）x+3a，x＜1}\\{{2}^{x-1}，x≥1}\end{array}\right.$的值域为R，则实数a的取值范围是[0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 根据分段函数的表达式，分别求出每一段上函数的取值范围进行求解即可．

解答 解：当x≥1时，f（x）=2^x-1≥1，
当x＜1时，f（x）=（1-2a）x+3a，
∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（1-2a）x+3a，x＜1}\\{{2}^{x-1}，x≥1}\end{array}\right.$的值域为R，
∴（1-2a）x+3a必须到-∞，
即满足：$\left\{\begin{array}{l}{1-2a＞0}\\{1-2a+3a≥1}\end{array}\right.$，解得0≤a＜$\frac{1}{2}$，
故答案为：[0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了函数的性质，运用单调性得出不等式组即可，难度不大，属于中档题．