Question

3．设变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{4x-y-2≤0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，目标函数z=abx+y（a，b均大于0）的最大值为8，则a+b的最小值为2．

Answer 1

分析 本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值．

解答 解：满足约束条件的区域是一个四边形，如下图：

4个顶点是（0，0），（0，2），（$\frac{1}{2}$，0），（2，6），
由图易得目标函数在（2，6）取最大值8，
即8=2ab+6，∴ab=1，
∴a+b≥2$\sqrt{ab}$=2，在a=b=2时是等号成立，
∴a+b的最小值为2．
故答案为：2．

点评 用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．