Question

8．已知数列{a_n}的通项公式a_n=n²2ⁿ，则数列{a_n}的前n项和S_n=（n²-2n+3）•2ⁿ⁺¹-6．

Answer 1

分析 两次利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵a_n=n²2ⁿ，
则数列{a_n}的前n项和S_n=2+2²×2²+3²×2³+…+n²•2ⁿ，
∴2S_n=2²+2²×2³+…+（n-1）²•2ⁿ+n²•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ-n²•2ⁿ⁺¹，
设数列{（2n-1）•2ⁿ}的前n项和为T_n，
则T_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ，
2T_n=2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2×（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=$2×\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-2-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6，
∴-S_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6-n²•2ⁿ⁺¹=（2n-3-n²）•2ⁿ⁺¹+6，
∴S_n=（n²-2n+3）•2ⁿ⁺¹-6．
故答案为：（n²-2n+3）•2ⁿ⁺¹-6．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．