Question

16．已知5，3分别为递减的等差数列{a_n}中的相邻两项，且数列{a_n}的前8项和为32，则数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前20项和S_n的大小为$\frac{20}{319}$．

Answer 1

分析 利用等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：设递减的等差数列{a_n}的公差为d，则d=3-5=-2．
又S₈=8a₁+$\frac{8×7}{2}×$（-2）=32，解得a₁=11，
∴a_n=11-2（n-1）=13-2n．
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（13-2n）（11-2n）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-11}-\frac{1}{2n-13}）$．
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前20项和S₂₀=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{-9}-\frac{1}{-11}）+（\frac{1}{-7}-\frac{1}{-9}）$+…+$（\frac{1}{2×20-11}-\frac{1}{2×20-13}）]$=$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{2×20-11}-\frac{1}{-11}）$=$\frac{20}{319}$．
故答案为：$\frac{20}{319}$．

点评 本题考查了“裂项求和”方法、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．