Question

11．给出下列五个命题，其中不正确的命题的序号是②④
①若a，b，c成等比数列，则b=$\root{3}{abc}$；
②若a，b，c成等比数列，则ma，mb，mc（m为常数）也成等比数列；
③若{a_n}的通项a_n=c（b-1）b^n-1（bc≠0且b≠1），则{a_n}是等比数列；
④若{a_n}的前n项和S_n=apⁿ（a，p均为非零实数），则{a_n}是等比数列；
⑤若{a_n}是等比数列，则a_n，a_2n，a_3n也是等比数列．

Answer 1

分析 根据等比数列的性质进行推导判断．

解答 解：对于①，若a，b，c成等比数列，则ac=b²，∴abc=b³，于是b=$\root{3}{abc}$，故①正确；
对于②，当m=0时，ma=mb=mc=0，显然ma，mb，mc（m为常数）不能组成等比数列，故②错误；
对于③，若{a_n}的通项a_n=c（b-1）b^n-1（bc≠0且b≠1），则$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=b，∴{a_n}是等比数列，故③正确；
对于④，若{a_n}的前n项和S_n=apⁿ（a，p均为非零实数），n=1时，a₁=S₁=ap，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=ap^n-1（p-1）．
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=p-1，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=p．∴{a_n}不是等比数列，故④错误；
对于⑤，若{a_n}是等比数列，设公比为q，则a_n=a₁q^n-1，a_2n=a₁q^2n-1，a_3n=a₁q^3n-1．
∴a_na_3n=a₁²q^4n-2=a_2n²，∴a_n，a_2n，a_3n也是等比数列，故⑤正确．
故答案为：②④．

点评 本题考查了等比数列的性质，等比关系的判断，属于中档题．