Question

16．如图，在三棱锥D-ABC中，已知AB=AD=2，BC=1，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=-3$，则CD=$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示$\overrightarrow{BD}$，根据已知条件列方程得出AC，∠BAC，∠DAC的关系，使用等量代换计算CD²=|$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$|²．

解答 解：设∠BAC=α，∠DAC=β，
∵|$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$|=BC=1，
∴AC²+AB²-2AC•ABcosα=1，即AC²-4ACcosα=-3．
∵$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=-3$，
∴$\overrightarrow{AC}•（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}）$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}=-3$，
即2ACcosβ-2ACcosα=-3，∴2ACcosβ=2ACcosα-3．
∴CD²=（$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$）²=${\overrightarrow{AD}}^{2}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$-2$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}$=4+AC²-4ACcosβ=4+AC²-4ACcosα+6=7．
∴CD=$\sqrt{7}$．
故答案为$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了空间向量的数量积运算，属于中档题．