Question

7．如图几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD=2．面EAD⊥面ABCD，面FCB⊥面ABCD，且CF⊥BC．
（1）证明：BD⊥AE；
（2）若△ADE是正三角形，点P为AF上的点，且PF=2PA，$CF=3\sqrt{3}$，证明：EP∥面ABCD．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理求出BD，AB，由勾股定理得AD⊥BD，由此能证明BD⊥AE．
（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明EP∥面ABCD．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD=2，
∴BD=$\sqrt{4+4-2×2×2×cos120°}$=2$\sqrt{3}$，
cos60°=$\frac{4+A{B}^{2}-12}{4AB}$，整理，得AB²-2AB-8=0，
解得AB=4或AB=-2（舍），
∴AD²+BD²=AB²，∴AD⊥BD，
∵面EAD⊥面ABCD，∴BD⊥平面ADE，
又AE?平面ADE，∴BD⊥AE．
（2）∵四边形ABCD是等腰梯形，AD⊥BD，∴AC⊥BC，
∵面FCB⊥面ABCD，且CF⊥BC，∴CF⊥平面ABCD，
∴以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CF为z轴，建立空间直角坐标系，
∵△ADE是正三角形，点P为AF上的点，且PF=2PA，$CF=3\sqrt{3}$，
∴E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$），P（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{EP}$=（$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，$\frac{1}{2}$，0），
又∵平面ABCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EP}$=0，∴EP∥面ABCD．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．