Question

6．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且$\frac{cosA-3cosC}{cosB}=\frac{3c-a}{b}$．
（1）求$\frac{sinC}{sinA}$的值；
（2）若B为钝角，b=10，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知条件和正弦定理以及和差角的三角函数公式可得；
（2）由（1）和弦定理可得c=3a，由余弦定理和可得a的不等式，解不等式结合三角形的三边关系可得a的范围．

解答 解：（1）∵在△ABC中$\frac{cosA-3cosC}{cosB}=\frac{3c-a}{b}$，
∴bcosA-3bcosC=3ccosB-acosB，
∴bcosA+acosB=3bcosC+3ccosB，
∴由正弦定理可得sinBcosA+sinAcosB=3sinBcosC+3sinCcosB，
∴sin（A+B）=3（sinBcosC+sinCcosB）=3sin（B+C），
∴sinC=3sinA，∴$\frac{sinC}{sinA}$=3；
（2）由（1）可得sinC=3sinA，由正弦定理可得c=3a，
由余弦定理和题意可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+9{a}^{2}-1{0}^{2}}{2•a•3a}$＜0，
解不等式可得-$\sqrt{10}$＜a＜$\sqrt{10}$，再由三角形三边关系可得a+3a＞10，
解得a＞$\frac{5}{2}$，综合可得$\frac{5}{2}$＜a＜$\sqrt{10}$

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及和差角的三角函数公式和三角形的三边关系，属中档题．