Question

11．已知等比数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，公比q=$\frac{1}{2}$．
（1）S_n为{a_n}的前n项和；证明：S_n=1-a_n；
（2）设b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）分别由等比数列的通项公式和求和公式计算两边的式子，验证可得；
（2）由（1）和对数的运算可得log₂a_n=-n，可得b_n=-（1+2+3+…+n），由等差数列的求和公式可得．

解答 （1）证明：∵等比数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，公比q=$\frac{1}{2}$，
∴S_n=$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ，1-a_n=1-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$）^n-1=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴S_n=1-a_n；
（2）解：由（1）可知a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，故log₂a_n=-n，
∴b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n=-1+（-2）+（-3）+…+（-n）
=-（1+2+3+…+n）=-$\frac{n（1+n）}{2}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式，涉及等差数列的求和公式，属基础题．