Question

19．已知向量：$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（cosy，siny），$\overrightarrow{c}$=（sinx，cosx），|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（1）求cos（x-y）的值；
（2）若函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到函数g（x）的图象关干y轴对称，求实数m的最小值．

Answer 1

分析 （1）运用平方法，结合向量的数量积的坐标表示和性质，向量的平方即为模的平方，再由两角的差的余弦公式，计算即可得到所求值；
（2）运用向量的数量积的坐标表示，利用二倍角的正弦可得f（x）=2cosxsinx=sin2x，再利用三角函数的平移变换可得f（x+m）=sin（2x+2m），其图象关于y轴对称，可求得m=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$（k∈Z），又m＞0，从而可得答案．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（cosy，siny），|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
可得$\overrightarrow{a}$²=$\overrightarrow{b}$²=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cosxcosy+sinxsiny=cos（x-y），
由（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）²=$\frac{4}{5}$，即为1+1-2cos（x-y）=$\frac{4}{5}$，
解得cos（x-y）=$\frac{3}{5}$；
（2）∵f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=cosxsinx+sinxcosx=sin2x，
∴f（x+m）=sin[2（x+m）]=sin（2x+2m），
∵y=sin（2x+2m）的图象关于y轴对称，
∴2m=kπ+$\frac{π}{2}$，∴m=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$（k∈Z），又m＞0，
∴m_min=$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查斜率的数量积的坐标表示和性质，向量的平方即为模的平方，考查二倍角的正弦及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查余弦函数的对称性，属于中档题．