Question

15． 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC=90°，AD=2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点．
（1）证明：PA∥平面BMQ；
（2）已知PD=DC=AD=2，求V_P-BMQ．

Answer 1

分析 （1）连结AC，交BQ于N，连结MN，推导出MN∥PA，由此能证明PA∥平面BMQ．
（2）取CD的中点K，连结MK，则MK∥PD，推导出MK⊥底面ABCD，点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离，由V_P-MAQ=V_A-BMQ=V_M-ABQ，利用等积法能求出V_P-BMQ．

解答 证明：（1）连结AC，交BQ于N，连结MN，
∵∠ADC=90°，Q为AD的中点，∴N为AC的中点，
当M为PC的中点，即PM=MC时，MN为△PAC的中位线，
∴MN∥PA，
又MN?平面BMQ，∴PA∥平面BMQ．
（2）取CD的中点K，连结MK，则MK∥PD，MK=$\frac{1}{2}$PD=1，
又PA⊥底面ABCD，∴MK⊥底面ABCD，
又BC=$\frac{1}{2}AD=1$，PD=CD=2，
∴AQ=1，BQ=2，MQ=$\sqrt{3}$，NQ=1，
由（1）知PA∥平面BMQ，
∴点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离，
∴V_P-MAQ=V_A-BMQ=V_M-ABQ
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AQ×BQ×MK$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×1$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查点到棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．