Question

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，∠CAB=60°，AC=2，BC=$\sqrt{7}$．
（1）求△ABC的面积；
（2）如图所示，若函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象经过A、C、B三点，求ω和φ的值．

Answer 1

分析 （1）由已知及余弦定理可求c的值，利用三角形面积公式即可求值得解．
（2）由图象可求函数周期T，利用周期公式可求ω，由OA=$\frac{1}{2}AC=1$，可得点A（-1，0）在函数图象上，可得f（-1）=2sin（-$\frac{π}{3}$+φ）=0，结合范围|φ|＜$\frac{π}{2}$，即可解得φ的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵△ABC中，∠CAB=60°，AC=2，BC=$\sqrt{7}$．
由余弦定理可知：a²=c²+b²-2bccos$\frac{π}{3}$，
∴c²-2c-3=0，
∴c=|AB|=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•2•3•sin$\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$…6分
（2）T=2×3=6，∴ω=$\frac{π}{3}$，
∵OA=$\frac{1}{2}AC=1$，∴A（-1，0），
∴f（-1）=2sin（-$\frac{π}{3}$+φ）=0，
∴-$\frac{π}{3}$+φ=kπ（k∈Z），即：φ=kπ+$\frac{π}{3}$（k∈Z），
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$．…12分

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质，属于中档题．