Question

12．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=30°，PD⊥平面ABCD，AD=2，点E为AB上一点，且$\frac{AE}{AB}$=m，点F为PD中点．
（Ⅰ）若m=$\frac{1}{2}$，证明：直线AF∥平面PEC；
（Ⅱ）是否存在一个常数m，使得平面PED⊥平面PAB，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作FM∥CD，交PC于M，推导出四边形AEMF为平行四边形，由此能证明直线AF∥平面PEC．
（Ⅱ）要使平面PED⊥平面PAB，只需AB⊥DE，求出AE=ADcos30°=$\sqrt{3}$，推导出平面PDE⊥平面PAB，由此能求出存在一个常数m=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．使得平面PED⊥平面PAB．

解答 证明：（Ⅰ）作FM∥CD，交PC于M，
∵点M为PD的中点，∴FM=$\frac{1}{2}$CD，
∵m=$\frac{1}{2}$，∴AE=$\frac{1}{2}AB$=FM，
又FM∥CD∥AE，
∴四边形AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，
∴四边形AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，
∵AF?平面PEC，EM?平面PEC，
∴直线AF∥平面PEC．
解：（Ⅱ）存在一个常数m，使得平面PED⊥平面PAB，
要使平面PED⊥平面PAB，只需AB⊥DE，
此时AB=AD=2，∠DAB=30°，
∴AE=ADcos30°=$\sqrt{3}$，
又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥平面PDE，
∵AB?平面PAB，∴平面PDE⊥平面PAB，
∴m=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查使得面面垂直的两线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．