Question

17．已知函数f（x）=|2x+a|-|x-2|．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＜2的解集；
（Ⅱ）若存在实数x使f（x）≥|x-2|+3成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将a=1代入f（x）得到：|2x+1|-|x-2|＜2，通过讨论x的范围去掉绝对值号，解出不等式即可；
（Ⅱ）问题转化为|2x+a|-2|x-2|≥3成立，即|a+4|≥3成立，解出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=|2x+1|-|x-2|＜2，
x≥2时，2x+1-x+2＜2，解得：x＜-1，不合题意，
-$\frac{1}{2}$＜x＜2时，2x+1+x-2＜2，解得：-$\frac{1}{2}$＜x＜1，
x≤-$\frac{1}{2}$时，-2x-1+x-2＜2，解得：-5＜x≤-$\frac{1}{2}$，
综上，不等式的解集是：{x|-5＜x＜1}；
（Ⅱ）f（x）≥|x-2|+3成立，
即|2x+a|-2|x-2|≥3成立，
即|2x+a-2x+4|≥3成立，
即|a+4|≥3成立，
解得：a≥-1或a≤-7．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．