Question

2．△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c，若a=$\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$b，A=2B，则sinB=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 a=$\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$b，利用正弦定理可得：sinA=$\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$sinB．由A=2B，利用倍角公式可得：sinA=sin2B=2sinBcosB，化为cosB=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，再利用同角三角函数基本关系式即可得出．

解答 解：∵a=$\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$b，∴sinA=$\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$sinB，
∵A=2B，∴sinA=sin2B=2sinBcosB，
∴$\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$sinB=2sinBcosB，
∴cosB=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∵B∈（0，π），∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了正弦定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．