Question

7．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=3-S_n，数列{b_n}为等差数列，且b₅=15，b₇=21．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）将数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}中的第b₁项，第b₂项，第b₃项，…，第b_n项，…，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c_n}，求数列{c_n}的前2016项和．

Answer 1

分析 （I）由a_n=3-S_n，当n=1时，a₁=3-a₁，解得a₁=$\frac{3}{2}$；当n≥2时，可得：a_n-a_n-1=-a_n，化为${a}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n-1}$，利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）设等差数列{b_n}的公差为d，由b₅=15，b₇=21．可得$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}+4d=15}\\{{b}_{1}+6d=21}\end{array}\right.$，解得b₁=d=3，即可得出.$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{2}^{n}}{3}$．将数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}中的第3项，第6项，第9项，…，第3n项，…，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c_n}，其奇数项与偶数项仍然成等比数列，首项分别为$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{4}{3}$，公比都为8．利用等比数列前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）∵a_n=3-S_n，当n=1时，a₁=3-a₁，解得a₁=$\frac{3}{2}$；
当n≥2时，a_n-1=3-S_n-1，
∴a_n-a_n-1=3-S_n-（3-S_n-1）=-a_n，化为${a}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n-1}$，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为$\frac{3}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$，可得：${a}_{n}=\frac{3}{2}×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$3×（\frac{1}{2}）^{n}$．
（II）设等差数列{b_n}的公差为d，∵b₅=15，b₇=21．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}+4d=15}\\{{b}_{1}+6d=21}\end{array}\right.$，解得b₁=d=3，
∴b_n=3+3（n-1）=3n．
$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{2}^{n}}{3}$．将数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}中的第3项，第6项，第9项，…，第3n项，…，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c_n}，
其奇数项与偶数项仍然成等比数列，首项分别为$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{4}{3}$，公比都为8．
∴数列{c_n}的前2016项和=（c₁+c₃+…+c₂₀₁₅）+（c₂+c₄+…+c₂₀₁₆）
=$\frac{\frac{2}{3}（{8}^{1008}-1）}{8-1}$+$\frac{\frac{4}{3}（{8}^{1008}-1）}{8-1}$=$\frac{2}{7}（{8}^{1008}-1）$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．