Question

5．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin$\frac{ωx}{2}$cos$\frac{ωx}{2}$-2sin²$\frac{ωx}{2}$（ω＞0）的最小正周期为3π．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，a＜b＜c，$\sqrt{3}$a=2csinA，并且f（$\frac{3}{2}$A+$\frac{π}{2}$）=$\frac{11}{13}$，求cosB的值．

Answer 1

分析 （I）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-1，由周期公式可得ω，解2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得；
（Ⅱ）由题意和已知数据可得cosA=$\frac{12}{13}$，进而可得sinA=$\frac{5}{13}$，再由$\sqrt{3}$a=2csinA和正弦定理可得C=$\frac{2π}{3}$，整体代入cosB=-cos（A+C）=sinAsinC-cosAcosC，计算可得．

解答 解：（I）由三角函数公式化简可得
f（x）=2$\sqrt{3}$sin$\frac{ωx}{2}$cos$\frac{ωx}{2}$-2sin²$\frac{ωx}{2}$
=$\sqrt{3}$sinωx-1+cosωx
=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-1，
∵函数f（x）的最小正周期为T=3π，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{3π}$=$\frac{2}{3}$，
∴f（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$）-1，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得3kπ-π≤x≤3kπ+$\frac{π}{2}$，
∴函数f（x）的单调递增区间为[3kπ-π，3kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z；
（Ⅱ）∵f（$\frac{3}{2}$A+$\frac{π}{2}$）=$\frac{11}{13}$，∴2sin（A+$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$）-1=$\frac{11}{13}$，
∴2sin（A+$\frac{π}{2}$）-1=$\frac{11}{13}$，∴2cosA-1=$\frac{11}{13}$，
解得cosA=$\frac{12}{13}$，∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{5}{13}$，
再由$\sqrt{3}$a=2csinA和正弦定理可得$\sqrt{3}$sinA=2sinCsinA，
约掉sinA可得sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴C=$\frac{π}{3}$或C=$\frac{2π}{3}$，
又∵a＜b＜c，∴C为最大角，C=$\frac{π}{3}$矛盾，
故C=$\frac{2π}{3}$，cosC=-$\frac{1}{2}$，
∴cosB=-cos（A+C）=sinAsinC-cosAcosC
=$\frac{5}{13}×\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{12}{13}×（-\frac{1}{2}）$=$\frac{5\sqrt{3}+12}{26}$

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数公式和单调性以及解三角形，属中档题．