Question

【题目】在四棱锥中，底面ABCD，，AB∥DC，，，点E为棱PC中点。

（1）证明：平面PAD；

（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

（3）若F为棱PC上一点，满足，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（3）

【解析】

（1）取PD中点M，连接EM，AM，推导出四边形ABEM为平行四边形，由此能证明BE∥平面ADP，（2）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）根据BF⊥AC，求出向量的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值．

（1）如图，取PD中点M，连接EM，AM．

∵E，M分别为PC，PD的中点，∴EM∥DC，且EMDC，

又由已知，可得EM∥AB，且EM＝AB，

∴四边形ABEM为平行四边形，∴BE∥AM．

∵AM平面PAD，BE平面PAD，

∴BE∥平面ADP．

（2）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，

以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

∵AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．

∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）

∵（﹣1，2，0），（1，0，﹣2），

设平面PBD的法向量（x，y，z），

由，得，

令y＝1，则（2，1，1），

则直线BE与平面PBD所成角θ满足：

sinθ，

故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．

（3）∵（1，2，0），（﹣2，﹣2，2），（2，2，0），

由F点在棱PC上，设λ（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），

故（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），

由BF⊥AC，得2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）＝0，

解得λ，

即（，，），

设平面FBA的法向量为（a，b，c），

由，得

令c＝1，则（0，﹣3，1），

取平面ABP的法向量（0，1，0），

则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足：

cosα，

故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为：