Question

17．已知函数f（x）=x（lnx-ax）（a∈R），g（x）=f'（x）．
（1）若曲线y=f（x） 在点（1，f（1））处的切线与直线3x-y-1=0平行，求实数a的值．
（2）若函数F（x）=g（x）+$\frac{1}{2}$x²
?①若函数F（x）有两个极值点，求a的取值范围
?②将函数F（x）的两个极值点记为s、t，且s＜t，求证：-1＜f（s）

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，解关于a的方程，求出a的值，检验即可；
（2）①求出F（x）的导数，结合函数的极值的个数以及二次函数的性质求出a的范围即可；
②求出s的范围，问题转化为证明lns-$\frac{{s}^{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{s}$＞0，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）f′（x）=lnx-ax+x（$\frac{1}{x}$-a）=lnx-2ax+1--------------（1分）
f′（1）=1-2a，因为直线3x-y-1=0的斜率为3，
所以1-2a=3，解得a=-1，--（2分）
经检验a=-1时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线3x-y-1=0平行，
所以a=-1------------------------------（3分）
（2）①因为F（x）=lnx-2ax+1+$\frac{1}{2}$x²，
所以，F′（x）=$\frac{{x}^{2}-2ax+1}{x}$------------------（4分）
若函数F（x）有两个极值点s、t，s＜t，
即h（x）=x²-2ax+1在（0，+∞）首先要存在两个相异零点s、t，
由 h（x）=x²-2ax+1的系数可知 st=1＞0，
所以，$\left\{\begin{array}{l}{△={4a}^{2}-4＞0}\\{s+t=2a＞0}\end{array}\right.$，所以a＞1，
当0＜x＜s或x＞t时，F′（x）＞0，当s＜x＜t时F′（x）＜0，
所以F（x）有两个极值点s、t
所以，若函数F（x）有两个极值点a的取值范围为（1，+∞）-----------（6分）
②由前所述，易知s=a-$\sqrt{{a}^{2}-1}$=$\frac{1}{a+\sqrt{{a}^{2}+1}}$（a＞1），
所以 s∈（0，1）-----（7分）
又s²-2as+1=0，得：as=$\frac{{s}^{2}+1}{2}$，
f（s）=s（lns-as）=s（lns-$\frac{{s}^{2}+1}{2}$）----------------------（8分）
要证-1＜f（s）只要证s（lns-$\frac{{s}^{2}+1}{2}$）＞-1即证lns-$\frac{{s}^{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{s}$＞0----------（10分）
设函数g（s）=lns-$\frac{{s}^{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{s}$，0＜s＜1，g′（s）=$\frac{{-s}^{3}+s-1}{{s}^{2}}$，
当0＜s＜1时，g′（s）＜0，所以g（s）在区间（0，1）上是减函数，
所以g（s）＞g（1）=0，即 lns-$\frac{{s}^{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{s}$＞0，得证．-----（12分）

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．