Question

5．一个正三棱锥的四个顶点都在直径为2的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心．然后求出三角形的边长，再求体积．

解答 解：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心．
设球的半径为R=1，底面三角形的边长为a，
$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$=1⇒a=$\sqrt{3}$
该正三棱锥的体积：$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×（\sqrt{3}）^{2}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$
故选：C

点评 本题考查了正棱锥体积公式、三角形重心定理、球大圆的定义等相关知识点，属基础题．